مکانیک کلاسیک و هر آنچه باید راجع به آن بدانید

مکانیک، یکی از ملموس‌ترین علم هایی است، که هر روز با آن سر و کار دارید، شاید بد نباشد کمی درباره‌ی تاریخچه‌ی آن بدانید و با آن بیشتر آشنا شوید. با ما همراه باشید

هر روز که از خواب بیدار می‌شوید، به خیابان می‌روید، سوار بر خودرو رانندگی می‌کنید، منتظر مترو می‌مانید و زندگی خود را می‌گذرانید، بی‌آن که خود بدانید با علم مکانیک سر و کار دارید. مکانیک بخشی از فیزیک است که قدمتی به عمر بشریت دارد و شاید بتوان آن را ملموس‌ترین و قابل حس‌ترین زیر شاخه فیزیک لقب داد، چرا که يکی از خصوصيات عمده‌ی تجربيات حسی و به‌طور کلی همه‌ی تجربيات ما، ترتيب زمانی آن‌ها است. چنين ترتيبی سر چشمه‌ی تصور عقلی زمان ذهنی و عملا ملاک تنظيم آزمايش‌ها است. از جمله‌ی خصوصيت‌های اصلی مفهوم شیء مادی این است که ما برای آن وجودی قائليم مستقل از زمان (ذهنی) و حتی مستقل از اين حقيقت که آن را با حواس خود درک می‌کنيم و با آن‌که تغييراتی را که بر حسب زمان در آن وارد می‌شود را به چشم می بينيم اما آن را مستقل از زمان می‌پنداريم.

تعریف کلی

مکانیک نشان می‌دهد که یک جسم در وضعیت معین چگونه حرکت می‌کند

مکانیک کلاسیک یکی از قدیمی‌ترین و آشناترین شاخه‌های فیزیک است. این شاخه با اجسام در حال سکون و حرکت و شرایط سکون و حرکت آنها تحت تاثیر نیروهای داخلی و خارجی سرو‌ کار دارد. قوانین مکانیک به تمام گستره اجسام، اعم از میکروسکوپی یا ماکروسکوپی، از قبیل الکترون‌ها در اتم‌ها و سیارات در فضا یا حتی به کهکشان‌ها در بخش‌های دور دست جهان اعمال می‌شود و تمامی این پدیده‌ها را می‌توان با استفاده از مکانیک توجیه کرد. مکانیک توضیح نمی‌دهد که چرا اجسام حرکت می‌کنند و تنها نشان می‌دهد که یک جسم در وضعیت معینی چگونه حرکت خواهد کرد و این حرکت را چگونه می‌توان توصیف کرد.

حرکت اجسام به دو صورت مورد بررسی است:

سینماتیک حرکت: سینماتیک به توصیف هندسی محض حرکت یا مسیرهای اجسام، بدون توجه به نیروهایی که این حرکت را ایجاد کرده‌اند، می‌پردازد. در این بررسی عوامل حرکت (نیروهای وارد بر جسم) مد نظر نیست و با مفاهیم مکان، سرعت، شتاب، زمان و روابط بین آن‌ها سروکار دارد. در این علم ابتدا اجسام را به‌صورت ذره نقطه‌ای بررسی نموده و سپس با مطالعه حرکت جسم صلب حرکت واقعی اجسام دنبال می‌شود. خود سینماتیک به دو زیر گروه سینماتیک انتقالی و دورانی تقسیم می‌شود.

سینماتیک انتقالی: در این نوع حرکت پارامترهای سیستم به صورت خطی هستند و مختصات فضایی سیستم‌ها فقط انتقال می‌یابد. از این رو حرکت انتقالی مجموعه مورد بررسی قرار می‌گیرد. کمیت مورد بحث در سینماتیک انتقالی شامل جابه‌جایی، سرعت خطی، شتاب خطی، اندازه حرکت خطی و… می‌باشد.
سینماتیک دورانی: در این نوع حرکت برخلاف حرکت انتقالی پارامتر اصلی حرکت تغییر زاویه می‌باشد. به عبارتی از تغییر جهت حرکت، سرعت و شتاب زاویه‌ای حاصل می‌شود و مختصات فضایی سیستم‌ها فقط دوران می‌یابند. جابه‌جایی زاویه‌ای ، سرعت زاویه‌ای ، شتاب زاویه‌ای و اندازه حرکت زاویه‌ای از جمله کمیات مورد بحث در این حرکت می‌باشند.

دینامیک حرکت: دینامیک به نیروهایی که موجب تغییر حرکت یا خواص دیگر، از قبیل شکل و اندازه اجسام می‌شوند، می‌پردازد. این بخش ما را با مفاهیم نیرو و جرم و قوانین حاکم بر حرکت اجسام آشنا می‌کند. یک مورد خاص در دینامیک ایستاشناسی است، که با اجسامی که تحت تاثیر نیروهای خارجی در حال سکون هستند سروکار دارد.

اندیشه حرکت

علم مکانیک بر پایه زنده ساختن اصولی که اتمیست‌های یونانی بیان کرده‌ بودند و مدتی بس دراز از آن غفلت شده بود، بنا شد. اتمیست‌های یونانی گفته بودند، که اتم‌ها بدون هیچ کمکی به حرکت یکنواخت خود ادامه می‌دهند، مگر این‌که با اتم‌های دیگری برخورد کنند. این اندیشه به هیچ وجه بدیهی نیست و جای شگفتی نیست که نزدیک به ۲۰۰۰ سال کسی به این مطلب توجه نکرده است. تجربه‌ی روزمره بیشتر پشتیبان این عقیده است، که اجسام تا وقتی حرکت می‌کنند، که چیزی آن‌ها را به حرکت وادارد. این اندیشه که جسم متحرک می‌تواند به حرکت خود تا بی نهایت ادامه دهد، مگر آن که عاملی آن را از حرکت باز دارد، اندیشه‌ای نیست که با فهم متعارف سازگار باشد و به عنوان فرضیه نیز برای کسانی مطرح است که درباره مسائل حرکت قدری تفکر کرده باشند. مکانیک ارسطویی بر پایه این اندیشه طبیعی، که اگر نیرویی نباشد حرکتی هم نیست، بنا شده و در سراسر قرون وسطی از پشتیبانی مشترک فهم متعارف و جزم و تعصب برخوردار شده بود.

نظريه ارسطو در مورد حرکت

ارسطو حرکت در طبیعت را به دو نوع حرکت آسمانی و زمینی تقسیم کرد

ارسطو در قرن چهارم قبل از میلاد مقاله‌هایی در مورد فیزیک حرکت نوشت. در یکی از کارهایش به نام فیزیک، نظر خود را در مورد سرشت حرکت نوشته است، مطابق نظریه ارسطو حرکت در طبیعت از دو نوع است؛ حرکت زمینی و حرکت آسمانی. او جهان را به دو ناحیه تقسیم می‌کند، ناحیه‌ی زمینی که شامل زمین بود و تا کره ماه ادامه دارد و دیگری ناحیه‌ی آسمانی که از کره ماه تا ستارگان ثابت بسط می‌یابد. حرکت در ناحیه‌ی آسمانی طبیعتا دایره‌ای، یکنواخت و ازلی است. در حرکت آسمانی، حرکت مشهود اجرام سماوی، ماه، خورشید، سیاره‌ها و ستارگان مورد بررسی قرار می‌گیرد. این اجرام از یک ماده ازلی که اتر یا اتیر نامیده می‌شود تشکیل شده‌اند. در ناحیه‌ی زمین، چهار عنصر؛ خاک، آب، هوا و آتش به ترتیب محل قرار گیریشان از مرکز زمین در نظر گرفته می‌شوند، این عناصر دارای حرکت‌ها و مکان‌های طبیعی در جهان هستند. چون زمین مرکز جهان فرض شده‌ است، مكان طبیعی هر چیزی که از خاک تشکیل می‌شد، مثلا یک سنگ، روی سطح زمین قرار داشت و اگر کسی تکه سنگی را برداشته و آن را رها کند به مکان طبیعی خود یعنی، روی زمین باز می‌گردد. آب عنصر دوم، بالای زمین قرار دارد و مكان طبیعی آن همین است. لذا اگر سنگی را به داخل استخری بیندازید به‌زودی در ته استخر قرار می‌گیرد. لابد تاکنون دیده‌اید، که از داخل آب حباب‌های هوا خارج می‌شود. بنابراین هوا بالای آب و مکان طبیعی آتش بالای هوا قرار دارد، به همین دلیل شعله‌های آتش و دود میل دارند که به‌سوی جو زمین بالا بروند. ارسطو بين حرکت طبیعی و حرکت غیر طبیعی تفاوت قائل بود. مشخصا حرکت طبیعی یک جسم در این است، که مکان طبیعی خود را در جهان جست‌وجو کند و حرکت غیر طبیعی یک جسم سبب می‌شود، که مکان طبیعی یک جسم دست‌خوش تغییر قرار گیرد. به‌طور مثال اگر سنگی را پرتاب کنید، مدتی در هوا پرواز می‌کند و سرانجام به مكان طبیعی خود، یعنی زمین باز می‌گردد و مثلا برای دور کردن یک سنگ از مكان طبیعی‌اش باید حرکت غیرطبیعی انجام شود.

طبق نظریه ارسطو؛ تندی یک جسم متناسب با نیرویی که به آن وارد می شود، است وقتی این نیرو قطع شود، تندی جسم به صفر کاهش پیدا می‌کند. اگر سنگی را از محل طبیعی آن جابه‌جا کنیم، بعد از رها شدن به طور طبیعی به محل اصلی خود، زمین باز می‌گردد. تندی برگشت آن به زمین، بستگی به مقدار خاک موجود در آن دارد. سنگی که وزن آن دو برابر سنگ دیگری باشد، با تندی دو برابر به زمین باز می‌گردد و بنابراین تندی سقوط جسم نسبت مستقیم با وزن جسم دارد.

تولید نسل جدیدی از مواد مصنوعی دو بعدی

مشاهده

ارسطو نظریه خلا را رد می‌کند زیرا وقتی جسمی را به حرکت در می‌آوریم، باید به‌طور مداوم به حرکت خود ادامه دهد و این نظریه با این اصل که برای حرکت پیوسته جسم، نیروی پیوسته‌ای لازم است در تناقض است. او در کتاب فیزیک خود می نویسد:

گذشته از این وقتی که جسمی را به حرکت در می‌آوریم، نمی‌توان گفت که چرا باید در این‌جا یا آن‌جا متوقف شود. بنابراین یک جسم یا باید در سکون باشد یا در حرکت دائمی، مگر این‌که چیز قوی‌تری سر راه آن قرار گیرد.

بنابراین ارسطو در اینجا مفهوم اینرسی یا لختی یک جسم را که بعدها در قرن هفدهم قانون اول نیوتن نامیده شد، بیان می‌کند. چرایی گذشت زمان طولانی ۲۰۰۰ سال برای به ثمر رسیدن این اصل، یکی از اسرار علوم است، زیرا در این مدت هیچ‌کس با عقیده ارسطو موافق نبود.

پبروان مکتب ارسطو منکر خلا بودند و عقیده داشتند که ماده تمامی فضا را پر می‌کند و این به تبیین دلیل حرکت کمک می‌کند. تیری را در هوا رها کنید، برای به حرکت در آوردن تیر یک نیرو یا زور نیاز است. چرا تیر قبل از افتادن روی زمین مسافت قابل توجهی را طی می‌کند؟ چرا بلافاصله روی زمین نمی افتد؟ ارسطو استدلال می‌کرد که یک نیروی زوری برای به حرکت در آوردن آن لازم است. تیر هوا را در جلوی خود می‌راند. این هوای جابه جا شده در طول تیر حرکت می‌کند تا به انتهای تیر، جایی که در اثر حرکت تیر جای خالی ایجاد شده است، برسد و در این جا هوا جای خالی ایجاد شده را پر کرده و به حرکت تیر رو به جلو کمک می‌کند. ولی این فرآیند به طور دائمی ادامه نمی‌یابد، زیرا هوا نیروی مقاومی نیز در مقابل آن ایجاد می‌کند و تیر در ضمن حرکت در هوا به طور مداوم کند می‌شود، تا سرانجام روی زمین سقوط کند. تیر برای حرکت دائمی به یک نیروی مداوم نیاز دارد چون بعد از رها شدن از کمان چنین نیرویی بر آن وارد نمی‌شود، این سخن بدین معناست، که این حرکت دائمی نبوده و سرانجام سقوط می‌کند.

دوران پس از ارسطو

پس از گذشت قرن‌ها از نظریات ارسطو و مورد قبول واقع‌شدن آن‌ها در غالب جوامع علمی، به تدریج شک و شبهه‌هایی در مورد درستی آن ایجاد شد و تحقیقات گوناگونی برای راستی‌آزمایی نظریات فیلسوف یونانی انجام شد. در قرن يازدهم ميلادی بيرونی اولين فردی بود که روش تجربی علمی را در مکانيک متداول کرد. خزينی در قرن دوازدهم استاتيک و ديناميک را به عنوان علم مکانيک شناسايی کرد. بعضی از قوانين مکانيک نظير اينرسی يا قانون اول نيوتون، مفهوم اندازه حرکت خطی قسمتی از قانون دوم نيوتون توسط ابن هيثم و بوعلی سينا نيز ارائه شده‌اند. متناسب بودن بين شتاب و نيرو توسط هيبت الئه ابوالبرکات بغدادی و نظريه جاذبه توسط ابن‌هيثم و خزينی مورد مطالعه قرار گرفته بودند. به نظر می‌رسد که بررسی رياضی شتاب، توسط گاليله بر گرفته‌شده از بخش‌هايی از حرکت ابن سينا و ابن بجاه باشد.

گالیلئو گالیله برای اولین بار ریاضیات را وارد مکانیک کرد

گالیلئو گالیله برای اولین بار ریاضیات را وارد مکانیک کرد، او فصل تازه‌ای به کتاب مکانیک افزود. می‌دانید که ریاضیات نشات گرفته از عمیق‌ترین بخش ذهن انسان است. یعنی منطق! ریاضیات منطق محض است. فیزیک با ریاضیات، منطقی‌تر و قابل محاسبه‌تر می‌شود. پس می‌توان از طریق ریاضیات مدل‌های فیزیکی ارائه داد. گالیله در سال ۱۶۲۳، کتابی تحت عنوان مکانیک نوشت. در کتابش مفهوم نیرو را به دنیای فیزیک معرفی کرد. او در آن کتاب حرکت جسمی با شتاب ثابت را در نزدیکی سطح زمین بررسی کرد. گاليله نظريه کپرنيک که زمين سياره‌ای بيش نيست را قبول کرد و به صورت نظری و تجربی مفهوم شتاب را با انداختن اجسام از برج پيزا و حرکت بر روی سطح شيب‌دار مورد مطالعه قرارداد. او نشان داد که در حرکت ساده و با سرعت ثابت و عدم حرکت، قوانين فيزيک يکسان هستند و اساس نظريه نسبی حرکت اجسام و تبديلات گاليله را بنيان نهاد. ۶۰ سال پس از او، ایزاک نیوتن قوانین معروفش را در کتابی به نام اصول ریاضی فلسفه‌ی طبیعی منتشر کرد. نيوتون با پيشنهاد سه قانون اول دوم و سوم خودش توصيف کاملی برای حرکت اجسام طبيعی را ارائه کرد.

نیوتن و انقلابی عظیم

غالبا گفته زیر را به نیوتن نسبت می دهند:

اگر من توانستم اندکی دورتر را ببینم، علتش آن بوده است که من روی شانه غول‌ها ایستاده‌ام.

از جمله این غول‌ها می‌بایست از دکارت، گالیله و کپلر نام برد. دکارت به‌عنوان میراث، هندسه تحلیلی را برای او باقی گذاشته بود، که نیوتن در وهله اول آن را قدری مشکل یافته بود. کپلر پس از بیست و پنج سال محاسبه مداومی که مافوق قدرت هر انسانی بود، سه قانون اساسی حرکت سیارات را کشف کرده و بالاخره گالیله سال‌ها قبل از تولد نیوتن، اولین سنگ را از بنای مکانیک کار گذاشته بود. سال ۱۶۶۴ یعنی زمانی که نیوتن دانشجوی بیست و دو ساله‌ای در کمبریج بود، بیماری طاعون در آن ناحیه همه‌گیر شد، طوری که دانشگاه همه‌ی دانشجویان را مرخص کرد و نیوتن نیز به خانه پدری‌اش در ناحیه کشاورزی وولزتورپ در لینکن شایر بازگشت و دو سال در آنجا ماند. گفته‌اند که اگر بشریت همه دورانی را که از مرگ ارشمیدس تا زمان تولد نیوتن گذرانده حذف و به جای آن دوره هجده قرنی، این دوره دوساله اقامت نیوتن در وولرتورپ را جایگزین کند از نظر علمی ضرری نکرده است، زیرا در همین دوسال بود که نیوتن حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کرد، قوانین مکانیک را بنیاد نهاد، قانون عمومی گرانش و سرانجام قوانین حاکم بر اپتیک را کشف کرد.

قانون گرانش در واقع بیان کننده چگونگی یکی از نیروهای چهارگانه طبیعت است. این نیرو به همراه نیروی الکترومغناطیسی بلند برد هستند و برخلاف دو نیروی دیگر یعنی نیروی هسته‌ای ضعیف و قوی که برد خیلی کوتاهی دارند، در دنیای ماکروسکوپی نمود پیدا می‌کنند.

نیروی گرانشی مهم‌ترین نیرویی است، که در مقیاس‌های زندگی‌ روزمره و همچنین در مقیاس منظومه شمسی و ستاره‌ها و کهکشان‌ها عمل می‌کند، اما در مقیاس میکروسکوپی به‌دلیل ناچیزبودنش در مقایسه با نیروی الکترومغناطیسی نقشی ایفا نمی‌کند.

نیوتن در کتاب اصول ریاضی فلسفی طبیعی قوانین مکانیک را با مطرح کردن ۳ قانون اصلی، تبیین و تالیف کرد:

قانون اول نیوتن: هر جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت در راستای خط مستقیم باشد، به همان حالت می‌ماند مگر آن‌که در اثر نیروهای بیرونی ناچار به تغییر آن حالت شود. این قانون که تحت عناوین مختلف از جمله؛ اصل ماند، قانون اینرسی یا قانون لختی نیز بیان می‌شود، توسط نیوتن و با استناد بر تحقیقات گالیله تالیف شده است. طبق قانون اول نیوتن؛ حرکت ویژگی ذاتی یک جسم است و در غیاب هرگونه نیروی خارجی، جسم همان حالت حرکتی خود را حفظ می‌کند. این قانون طومار فلسفه طبیعی ارسطو را درهم پیچید، زیرا ارسطو بر این باور بود که اجسام در حالت طبیعی ساکن هستند و برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی بر آن وارد شود، در غیر این صورت، به حالت «طبیعی» خود بازمی‌گردد و ساکن می‌شود.

تایید دو ذره‌ جدید و کشف ذره‌ سوم توسط LHC

مشاهده

قانون دوم نیوتن: این قانون در واقع به این پرسش پاسخ می‌دهد، که اگر به یک جسم نیروی خارجی وارد شود، حرکت آن چگونه خواهد بود. این قانون که در سال ۱۶۷۹ (میلادی) اولین بار در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی منتشر شد، به‌عنوان مهم‌ترین کشف در تاریخ علم قلمداد شده‌است. فرمولی که از این قانون برمی‌آید، به معادله بنیادین مکانیک کلاسیک معروف است، اولین بار توسط نیوتن و به شکل برابری آهنگ تغییر تکانه با نیرو بیان شد؛ یعنی نیروی وارد بر جسم با حاصلضرب تغییرات تکانه در جرم جسم برابر و هم جهت است که به شکل زیر بیان می‌شود:

${\vec {F}}={d{\vec {P}} \over dt}$

قانون دوم نیوتن به این شکل نیز قابل بیان است؛ شتاب وارد بر جسم، با برآیند نیروهای وارد بر آن نسبت مستقیم و با جرم آن نسبت عکس دارد که با رابطه زیر نشان داده می‌شود:

${\vec {a}}={{\vec {F}} \over {m}}$ یا ${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{d{\vec {V}} \over dt}$

این قانون را نیز می‌توان تعمیم قانون اول دانست؛ زیرا اگر در رابطه بالا نیرو برابر صفر باشد، آهنگ تغییرات سرعت نیز برابر صفر می‌شود که همان تعریف حرکت یکنواخت می‌باشد.

قانون سوم نیوتن: برای هر کنشی، همواره یک واکنش برابر در جهت مخالف وجود دارد. به عبارت دیگر هرگاه جسم ۱ نیرویی به جسم ۲ وارد کند، جسم ۲ نیز همان مقدار نیرو را در جهت مخالف نیروی دریافتی به جسم ۱ وارد می‌کند، به طوری‌که:

${\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}$

مجموعه قوانین سه‌گانه حرکت و قانون گرانش عمومی، اساس و شالوده بسیاری از فناوری‌های کنونی هستند. با وجود پیدایش فیزیک نوین، از اهمیت قوانین نیوتن هنوز کاسته نشده‌ است، به صورتی که حتی تاکنون از قوانین نیوتن برای کارهای پیشرفته‌ای مانند ارسال فضاپیماها به فضا استفاده می‌کنند.

صورت‌بندی لاگرانژ از مکانیک

تقریباً نیم قرن پس از آن‌که نیوتن کتاب «اصول ریاضی فلسفی طبیعی» را در ١٧٢٩ منتشر کرد و درآن قوانین مکانیک را به صورتی که امروز می‌شناسیم تدوین کرد، ژوزف‌لویی‌ لاگرانژ ریاضیدان فرانسوی توانست فرمول بندی جدید ولی معادلی از مکانیک ارائه کند، که هم برای تعمیم‌های نظری و هم برای تحلیل مسائل پیچیده کارایی خیلی بیشتری داشت. مکانیک در آن صورتی که نیوتن نخستین بار عرضه کرده بود، هنوز متکی بر مفاهیم هندسی بود، اما لاگرانژ توانست با کاربرد آنالیز به جای هندسه به آن هم وحدت و هم استحکام بخشد. در صورت‌بندی نیوتن می‌بایست برای برای هر مسئله‌ای، تجزیه تحلیل دقیقی از بردارهای نیروها انجام دهیم. هم چنین باید در نظر داشت، که معادلات حاکم بر نیروها و شتاب‌ها در هر دستگاه مختصاتی یک شکل و یک قیافه معین پیدا می‌کند. در صورت بندی لاگرانژ اثری از بردارهای نیرو و شتاب نیست، نیازی به تجزیه تحلیل این بردارها نیز وجود ندارد و بالاتر از همه شکل معادلات حرکت که آن‌ها را معادلات اویلر-لاگرانژ می نامیم، کاملا مستقل از نوع مختصاتی هستند که به کار می‌بریم. این خصلت هاست که به صورت‌بندی لاگرانژ هم توانایی فوق العاده داده و هم آن را به صورت یک ساختار ریاضی زیبا درآورده است.

در این فرمول‌بندی به تابعی به نام لاگرانژین (L) اشاره می‌شود که برابر تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی می‌باشد:

$L=T-V$

${\partial L \over \partial x}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0$

ده سال بعد از معرفی این فرمول‌بندی، لاگرانژ نامه‌ای به دلامبر، ریاضیدان فرانسوی فرستاد و در آن ذکر کرد، که در نظر او کاری که در نوزده سالگی در محاسبه تغییرات انجام داده شاهکار اوست و به‌وسیله همین محاسبه است، که لاگرانژ توانست تمام دانش مکانیک را منسجم کند و به قول هامیلتون از آن نوعی «شعرعلمی» به‌وجود آورد.

صورت‌بندی هامیلتون از مکانیک

برای یک دستگاه با N درجه آزادی، درصورت‌بندی لاگرانژ N معادله دیفرانسیل درجه دوم داریم که این معادلات با در دست داشتن مختصات و سرعت های اولیه یک حل یکتا به عنوان مسیر درفضای پیکربندی‌ها به‌دست می‌آید. هامیلتون صورت‌بندی متفاوتی ازمکانیک کلاسیک ارائه داده است، که از بسیاری جهات به‌خصوص برای تعمیم نظری مکانیک کلاسیک به چهارچوب کوانتومی مناسب است. برای توصیف این صورت‌بندی لازم است، که نخست تکانه یا تکانه تعمیم یافته را تعریف کنیم.

تکانه مزدوج با مختصه ( $p$ ) به شکل زیرتعریف می‌شود:

$p_{i}={{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}}}$

که در آن $L$ تابع لاگرانژین و ${\dot {q}}$ سرعت جسم است.

$H(q_{i},p_{i},t)=\sum _{i}{p_{i}}{q_{i}}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

تقارن و نتایج آن

جهان اطراف ما و پدیده‌های فیزیکی که درآن اتفاق می افتد، از بعضی جهات متقارن است. به عنوان مثال اگر آزمایشی را امروز انجام دهیم و سپس فردا آن را تکرار کنیم، همان نتیجه‌ای را به دست خواهیم آورد، که امروز به‌دست می‌آوریم. این امر ناشی از همگنی زمان و یک خاصیت مهم طبیعت است. البته فردا با امروز از بسیاری جهات مثل دما و رطوبت، میزان تابش آفتاب و وزش باد متفاوت است، به همین دلیل وقتی که از همگنی زمان سخن می‌گوییم، می‌بایست توجه خود را به یک آزمایش ایده‌آل که عوامل فوق درآن موثر نیستند، معطوف کنیم و یا اینکه آزمایش را درهمان شرایط دما و رطوبت و غیرآن تکرار کنیم. بنابراین می‌توانیم بگوییم رفتار یک سیستم تحت انتقال در زمان مطلق یا رفتار یک سیستم بسته تحت انتقال در زمان متقارن است و تغییر نمی‌کند. این تقارن آنقدر واضح و بدیهی است، که اهمیت آن را کمتر حس می‌کنیم، با این وجود این تقارن بسیار مهم است و در واقع دلیل اصلی قانون بقای انرژی است. به همین ترتیب دنیای اطراف ما تحت انتقال در فضای مطلق متقارن است (می‌توان فضای بین کهکشان‌ها را فضای مطلق در نظر گرفت که در آن تقریبا هیچ عاملی روی یک آزمایش که انجام می‌دهیم، اثرندارد) یا اینکه بگوییم رفتار یک سیستم بسته تحت انتقال در فضا متقارن است. اگر آزمایشی را در تهران انجام دهیم همان نتیجه‌ای را به‌دست می‌آوریم که در تبریز، خواهیم دید که این تقارن منجر به یک قانون بقای مهم یعنی قانون بقای تکانه خطی می‌شود و بالاخره دنیای اطراف ما تحت دوران در فضای مطلق نیز متقارن است یا رفتار یک سیستم بسته تحت دوران در فضا متقارن است. اگر آزمایشی را رو به شمال انجام دهیم همان نتیجه‌ای را بدست می‌آوریم که رو به جنوب. البته اگر میدان مغناطیسی زمین دراین آزمایش تاثیر گذار باشد، دو نتیجه متفاوت به‌دست خواهد آمد، ولی در این صورت سیستم بسته نیست. این تقارن منجر به قانون بقای اندازه حرکت زاویه‌ای می‌شود. این خواص تقارنی هستند که تکرارپذیری آزمایش‌ها و اساسا قدرت پیش‌بینی علم فیزیک را امکان پذیر می‌کنند.

مشکلات مکانیک کلاسیک

قوانین نیوتن

در قانون دوم نیوتن سرعت نامتناهی قابل قبول است، زیرا در قوانین نیوتن خواص فیزیکی ماده مستقل از سرعت آن فرض شده ‌است. در این صورت جسم با توجه به رابطه انرژی جنبشی ( ${1 \over 2}{mV^{2}}$ ) دارای انرژی نامتناهی می‌شود، اما تاکنون چنین پدیده‌ای مشاهده نشده است، این مشکلات بعدها و در اوایل قرن بیستم توسط نسبیت عام برطرف شد. همچنین قانون سوم نیوتن، بحث برهم‌کنشی را مطرح می‌کند و اعلام می‌دارد که همواره یک واکنش برابر در جهت مخالف وجود دارد، اما این اصل در حالاتی خاص از الکترومغناطیس دچار نقض و ایراد می‌شود.

دستگاه مرجع مطلق اتر و فضا و زمان نیوتنی

نیوتن در ارائه قوانین خود، از یک اصل و نکته مهم به زیرکی عبور کرد و عملا با نادیده‌گرفتن آن قوانین خود را بیان کرد و آن این است که این قوانین نسبت به کدام دستگاه مقایسه‌ای مطرح شده‌اند. زیرا در تمام تجربیات مکانیکی از هر نوع که باشند باید وضعیت نقاط مادی را در لحظه معین نسبت به مکانی خاص در نظر گرفته شود. نیوتن در نظر داشت که کالبد فضا در حالت سکون است؛ یعنی می‌توان از حرکت مطلق سخن گفت. اما در آن زمان اعتقاد عمومی بر این بود که کالبد فضا از اتر (عنصر پنجم ارسطویی) انباشته‌ است. یعنی چنین تصور می‌شد که اتر در فضا مستقر و ساکن است و به هیچ روی حرکت نمی‌کند و همه اجسام در اتر غوطه‌ورند. همچنین دانشمندان کلاسیک همواره تأثیر در فاصله دور را امری می‌پنداشتند، که تصور آن دشوار بود و هضم این مطلب؛ که نیروی گرانش می‌تواند از فواصل دور اثر ‌کند، نیوتن را به تعجب واداشته‌بود. نیوتن به منظور توضیح این اثر، عقیده‌ی ارسطو را درباره اینکه جهان از اتر پر شده‌ است را پذیرفت و گمان کرد که ممکن است، گرانش به طریقی توسط اتر منتقل شود؛ لذا اتر ضمن آن‌که دستگاه مقایسه‌ای مطلق بود، وسیله انتقال گرانش نیز به حساب می‌آمد. همچنین نیوتن در کتاب اصول فلسفه‌ی طبیعی نوشت:

زمان؛ مطلق، حقیقی، ریاضی، خود بخود و به علت ماهیت ویژه خود، به‌طور یکنواخت و بدون ارتباط با هیچ چیز خارجی جریان دارد.

بنابراین، از دیدگاه نیوتن زمان یک مقیاس جهانی بود، که مستقل از همه اجسام و پدیده‌های فیزیکی وجود داشت. زمان به دلیل ماهیت خود جریان داشت و این جریان وابسته به هیچ چیز دیگری نبود. همچنین در مورد فضا نظر او چنین است که فضا در ذات خود مطلق و بدون احتیاج به یک چیز خارجی همه جا یکسان و ساکن است. این‌گونه نگرش به مطلق در قوانین نیوتن راهگشای بسیاری از ابهامات مکانیک نیوتنی بود. زمان مطلق، فضا مطلق و حرکت مطلق مواردی بودند که مکانیک نیوتنی بر اساس آنها شکل گرفته بود.

کوچر بیرکار، ریاضی‌دان ایرانی، برنده مدال فیلدز شد

مشاهده

اینشتین در ژوئن سال ۱۹۰۵ طی یک نوشتار علمی خاطر نشان کرد، که اگر کسی نتواند آشکار کند که چیزی درون فضا در حال حرکت است، مفهوم اتر مفهومی زائد است. وی در مقاله ۱۷ صفحه‌ای خود تحت عنوان درباره‌ی دیدگاه اکتشافی مربوط به گسیل و انتظار نور که در مجله علمی آنالن دِر فیزیک منتشر ساخت، نظریه کوانتومی نور را عرضه کرد. در این میان آزمایش معروف مایکلسون-مورلی راه را برای پذیرش نظریه‌ی نسبیت خاص که اینشتین در سال ۱۹۰۵ ارائه داد، هموار کرد. آزمایش مایکلسون-مورلی را معمولاً نخستین شاهد قوی برای رد نظریه‌ی اِتِر می‌دانند. آلبرت مایکلسون به خاطر این آزمایش جایزه نوبل فیزیک را در سال ۱۹۰۷ از آن خود کرد. اینشتین نظریه نسبیت خاص خود را با این اصل آغاز کرد که قوانین علم برای همه ناظرانی که به‌طور آزاد در حرکت‌اند باید یکسان باشد. سرعت نور در خلأ از سرعت حرکت ناظر مستقل است و در همه جهات یکی است. این بدان معنی بود که کمیت جهانی و واحد زمان که همه ساعت‌ها آن را یکسان می‌سنجند، کنار گذاشته می‌شود و به جای آن، هر کس زمان مخصوص خودش را دارد.

قانون گرانش

اشکال اساسی قانون گرانش عمومی این است، که محدودیتی برای آن وجود ندارد. خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود. نیوتن دریافت که بر اثر قانون گرانش او، ستارگان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به نظر نمی‌رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال ۱۶۹۲ طی نامه ای به ریچارد بنتلی نوشت:

اگر تعداد ستارگان جهان بی‌نهایت نباشد و این ستارگان در ناحیه‌ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اگر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به‌طور کمابیش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه به‌سوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت.

مشکل بعدی قانون گرانش نیوتن این است، که طبق این قانون یک جسم به‌طور نامحدود می‌تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می‌تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی‌کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده ‌است. مشکل بعدی قوانین نیوتن در مورد دستگاه مرجع مطلق بود. همچنان که می‌دانیم حرکت یک جسم نسبی است، وقتی سخن از جسم در حال حرکت است، نخست باید دید نسبت به چه جسمی یا در واقع در کدام چارچوب در حرکت است. قوانین نیوتن نسبت به دستگاه مرجع مطلق مطرح شده بود. یعنی در جهان یک چارچوب مرجع مطلق وجود داشت که حرکت همه اجسام نسبت به آن قابل سنجش بود. اختلاف در مدار عطارد نیز باعث نقص در نظریه نیوتن شد. در پایان قرن ۱۹ دانشمندان می‌دانستند که مدار عطارد دارای آشفتگی‌های کمی است که نمی‌توان در محاسبات آن را به‌طور کامل تحت نظریه نیوتن درآورد، اما همه جستجوها برای اختلال‌های جرمی دیگری (مانند یک سیاره در حال چرخش به دور خورشید، حتی نزدیک‌تر از عطارد) بی‌نتیجه بود. تمامی این مشکلات، بعدها توسط نظریه نسبیت عام حل شد.

اگر من توانستم اندکی دورتر را ببینم، علتش آن بوده است که من روی شانه غول‌ها ایستاده‌ام

ناتوانی در توصیف حرکت الکترون‌ها در اتم

پس از کشف هسته اتم و ارائه مدل اتمی رادرفورد در سال ۱۹۱۱، بحث بر سر موقعیت الکترون‌ها در اتم بالا گرفت؛ زیرا رادرفورد موقعیت و حرکت الکترون‌ها در اطراف اتم را مشخص نکرده بود. اگر الکترون‌ها در جای خود ثابت بودند، باید توسط نیروی کولنی میان الکترون‌ها و پروتون‌ها بر روی هسته سقوط کنند و اتم ناپایدار باشد و اگر الکترون‌ها به صورت دایره‌ای به دور هسته گردش کنند، طبق نظریه‌ی الکترومغناطیس کلاسیک و حرکت دایره‌ای مکانیک کلاسیک، باید از خود نور گسیل کند و انرژی آن کم و کم‌تر شود تا در نهایت به صورت مارپیچی به داخل هسته سقوط کند، چیزی که در عمل مشاهده نمی‌شود. در سال ۱۹۱۳، نیلز بور با استفاده از نظریه کوانتومی پلانک و انیشتین، که پیشتر برای توصیف تابش جسم سیاه و پدیده فتوالکتریک استفاده شده بود، بیان کرد که الکترون‌ها در هر اتم دارای انرژی‌های مشخص و معینی هستند و نمی‌توانند هر مقدار انرژی داشته باشند و عملا انرژی باید بسته‌ای یا کوانتیده باشد، بنابراین الکترون‌ها بر روی هسته سقوط نمی‌کنند. این نظریه برای اتم هیدروژن یا یون‌های تک الکترونی به خوبی جواب می‌داد، ولی در مورد اتم‌های با الکترون بیشتر جواب نمی‌داد. در سال ۱۹۲۶ و با فرمول‌بندی نظریه کوانتومی موجی شرودینگر، این مشکل برطرف شد و جهان میکروسکوپی به مکانیک کوانتومی واگذار شد.

سرانجام

پس از منازعات علمی فراوان و سرعت عجیبی که علم از آغاز ۱۹۰۰ به خود گرفت، در نهایت پس از آن‌که شرودینگر فرمول‌بندی نظریه‌ی کوانتومی خود را ارائه کرد، مکانیک کوانتومی به رسمیت شناخته‌ شد و عملا علم مکانیک به دو بخش کلاسیک و کوانتومی تقسیم شد. مکانیک کلاسیک به بررسی پدیده‌هایی که انسان به صورت روزمره با آن سر و کار دارد، می‌پردازد و مکانیک کوانتومی به تحلیل پدیده‌هایی با سرعت‌های بسیار بالا(مایل به سرعت نور) و اجسام بسیار ریز(به طور مثال ذرات زیر اتمی) می‌پردازد.

تعریف کلی

اندیشه حرکت

نظريه ارسطو در مورد حرکت

دوران پس از ارسطو

نیوتن و انقلابی عظیم

صورت‌بندی لاگرانژ از مکانیک

صورت‌بندی هامیلتون از مکانیک

تقارن و نتایج آن

مشکلات مکانیک کلاسیک

قوانین نیوتن

دستگاه مرجع مطلق اتر و فضا و زمان نیوتنی

قانون گرانش

ناتوانی در توصیف حرکت الکترون‌ها در اتم

سرانجام

لغو پاسخ